一道滑动变阻器的功率最值问题

type

Post

status

Published

date

Nov 23, 2025

slug

一道滑动变阻器的功率最值问题

summary

妙！

分析与表示

话不多说，我们先分析电路，从定性的角度看一下P_2的变化。

如果滑片在最左端，R_2的电功率显然为0。

•用公式P=UI：

将滑片向右移动，

R变大，I变小，U_1变小，U_2变大，没法判断I和U_2相乘的结果；

•用公式P=U^2/R：

变化趋势很诡异，分子分母都变大，不知道谁变大得更快；

•用公式P=I^2*R：

不用说就知道，这2个量都不是定值，变化方向也不一致，同样求不出来。

那怎么办呢？

只能找出定值作为依托，如果式子中只剩下一个未知量，那么大概率有办法求出最值。

现在，我希望原式只剩下三个物理量：

确定的R_1，确定的U，不确定的R_2。

用第三个公式，结合电阻规律，我们可以写出这个过程:

到此物理问题已经解决了，但数学问题才刚刚开始。

变形与求值

展开分母这个多项式，式子显得更加杂乱无章。虽然U没有变化，不用管了，

但是分子、分母中都有未知量，

让人想要进行一次“分子有理化”之类的操作，把问题聚焦到分母上。

一个定值除以一个变量，问题会简单很多，因为我们学过反比例函数。那么就有：

不过此处运用的一个数学技巧，属于没有接触也就很难想到的类型，直接公布答案意义不大。

如果你知道均值不等式，那么这里的变形就轻而易举：

分母最小值是4R_1，分式最大值就是U^2/4R_1。

而且取等条件也随之呈现，岂不妙哉！

如果你不知道，那你就只有两条路。

一是现场推出均值不等式，这也不难，它的原理如下：

用不着这个正方形，但左边的推导还是有参考意义的。

移一下项，开一下方，就得出了此形式优美的不等式。（WGL数学课上貌似讲过）

在a、b均大于0的情况下，它们的算术平均必然大于几何平均，

把最后一行的a换成括号里的第一项，b换成第二项，就是图片中简略过程的详细推导。

二是用作图软件作出函数图像，看出它的变化趋势。

但这个函数图像未免有些丑陋。

（下方可以查看）

Geogebra绘制出的函数图像，a为R_1，u为电源电压

那么，最值的存在性自然是不容置疑的了，数据也能显示出，在两个电阻阻值相同时，R_2的电功率最大。

但滑动变阻器在实际使用的时候，滑片所调节的范围是受限制的。那么这个限制就有可能会影响到其电功率的范围，而不能一味套用公式。

后记

我认为这个有趣现象虽然已经得到定量推导，但还差一步才能内化为物理直觉。

为什么刚好是相等？为什么不是另外一个值？

我让DeepSeek给一个通俗的解释，它说可以想象成两个人一起拉车，一个人力气固定（定值电阻），另一个人力气可调（滑动变阻器）。当两个人的力气相当时，可调力气的人输出的功率最大。如果可调力气的人太弱或太强，整体效率都会降低。

OK，这样是挺直观的。

不管怎样，数学是最基础的工具，是分析实际物理问题的核心，“绝知此事要躬行”，数形结合，严谨推导，才是此题最大的难点。

另外，你能如谢Pro所说，用设电流的方法得到答案吗？

后记之后（2026年1月20日）

设电流为I，

则R_1两端电压为IR_1，R_2两端电压为U-IR_1，

R_2的电功率为UI-I^2R_1。

以I为自变量，运用二次函数知识可得，当I=U/2R_1时取得最大值。